Huffman tree

基本术语

路径和路径长度
– 路径：在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或子孙结点之间的通路。
– 结点的路径长度：从一个结点到另一个结点的路径上分支的数目。
结点的权及带权路径长度
– 结点的权:将树中结点赋予一个有着某种含义的数值。
– 结点的带权路径长度：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。
树的带权路径长度
– 树中所有叶子结点的带权路径长度之和。
赫夫曼树（ Huffman tree ）
– 带权路径长度达到最小的二叉树即为赫夫曼树。

在所有含 n 个叶子结点、并带相同权值的二叉树中，必存在一棵其带权路径长度取最小值的树，称为“最优二叉树”。

构造 Huffman tree

基本思想：使权大的结点靠近根

根据给定的 n 个权值 {w1, w2, …, wn}，构造 n 棵二叉树的集合F = {T1, T2, … , Tn}，其中每棵二叉树中均只含一个带权值为 wi 的根结点,其左、右子树为空树;
在 F 中选取其根结点的权值为最小的两棵二叉树，分别作为左、
右子树构造一棵新的二叉树，并置这棵新的二叉树根结点的权值为其左、右子树根结点的权值之和;
从F中删去这两棵树，同时加入
刚生成的新树;
重复上述两步，直至 F 中只含一棵树为止。

哈夫曼构造算法实现

一棵有 n 个叶子结点的Huffman树有 2n-1 个结点

采用顺序存储结构—一维结构数组
结点类型定义 “`cpp
typedef struct {
ElemType elem; // 结点值
int weight; // 权值
int parent, lch, rch;
}HTNode, *HuffmanTree;
“`
构造HuffmanTree
– 输入初始n个叶子结点：置HT1..n的weight值
– 进行以下n-1次合并，依次产生HTi，i=n+1..2n-1：
– 在HT1..i-1中选两个未被选过的weight最小的两个结点HTs1和HTs2
– 修改HTs1和HTs2的parent值： parent=i
– 置HTi：weight=HTs1.weight + HTs2.weight ,lch=s1, rch=s2“`cpp
Status CreatHuffmanTree(HuffmanTree HT, int n){
if (n <= 1) // 结点数量不合法
return ERROR;
int m = 2 * n – 1;
int i;
int s1, s2;
HT = new HTNode[m + 1]; // 0号单元未用，HT[m]表示根结点
for (i = 1;i <= m;++i) {
HT[i].lch = 0;
HT[i].rch = 0;
HT[i].parent = 0;
}
for (i = 1;i <= n;++i)
// 输入权值
cin >> HT[i].weight;
for (i = n + 1;i <= m;++i) {
// 构造Huffman树
Select(HT, i – 1, &s1, &s2); // 在HT[k](1≤k≤i-1)中选择两个其双亲域为0, 且权值最小的结点, 并返回它们在HT中的序号s1和s2
if (s1 != 0 && s2 != 0) {
HT[s1].parent = i;
HT[s2].parent = i; //表示从F中删除s1,s2
HT[i].lch = s1;
HT[i].rch = s2; //s1,s2分别作为i的左右孩子
HT[i].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight; //i 的权值为左右孩子权值之和
}
}
return OK;
}
“`哈夫曼树的应用哈夫曼编码
算法实现 “`cpp
Status CreatHuffmanCode(HuffmanTree HT, HuffmanCode& HC, int n) {
if (n <= 1)
return ERROR;
int start, i;
int f = 0, c;
HC = new char* [n + 1];
char* cd = new char[n];
cd[n – 1] = ‘0’;
for (i = 1; i <= n; ++i) {
while (f != 0) {
// 从叶子结点开始向上回溯，直到根结点
start = n – 1;
c = i;
f = HT[i].parent;
if (HT[f].lch == c) cd[start] = ‘0’;
else cd[start] = ‘1’;
c = f;
f = HT[f].parent;
}
HC[i] = new char[n – start]; // 编码数组
strcpy(HC[i], &cd[start]);
}
delete cd;
cd = NULL;
return OK;
}
“`
重要结论
– 哈夫曼编码是不等长编码
– 哈夫曼编码是前缀编码，即任一字符的编码都不是另一字符编码的前缀
– 哈夫曼编码树中没有度为1的结点。若叶子结点的个数为n，则哈夫曼编码树的结点总数为 2n-1
– 发送过程：根据由哈夫曼树得到的编码表送出字符数据
– 接收过程：按左0、右1的规定，从根结点走到一个叶结点，完成一个字符的译码。反复此过程，直到接收数据结束

数据结构——HuffmanTree

Huffman tree

基本术语

构造 Huffman tree

哈夫曼构造算法实现