电路布线

问题分析

电路布线的官方解释我就不加赘述了，通俗的讲，就是求最大不相交子集，也就是尽可能多的在线路不相交的情况下的布线情况。那么，这里再说一下，什么是相交，对于所有上端的接线柱 1<=i<j<=n, 相交即下端接线柱Π(i) > Π(j), 举个例子，比如上端接线柱1，2, 下端接线柱对应的是4，5的话就不相交，对应的是5，4的话就相交。

我们直接拿上述这个图为例
记 N(i,j) = {t|(t, Π(t))∈ Nets，t ≤ i, Π(t) ≤ j}。 N(i, j)的最大不相交子集为 MNS(i,j)。 Size(i,j) = |MNS(i,j)|（最大不相交子集线路的条数）
– N(i,j): 上端接线柱从1到i，下端接线柱从1到j，在这个范围内的接线情况。也就是 t ∈ (1~i), Π(t) ∈ (1~j)。比如上述图中，如果是 N(4, 6), 那么能够出现的线只有两条，即{4->2, 3->4}，那么Size(4,6) = 1
1. 当 i = 1时，
$$MNS(1,j) = \begin{cases}
Φ & j < Π(i) \
{(1, Π(1))} & j ≥ Π(i)
\end{cases}
$$
2. 当 i > 1时，
1. j < Π(i)。此时，(i, Π(i)) ∉ N(i,j)。故 N(i,j) = N(i-1,j), Size(i,j) = Size(i-1,j)。为什么是这样？因为 i->Π(i) 就是连接的那条线，既然 j < Π(i), 也就是说 $\color{red}i所对应的Π(i) 并不在集合内$，那么显然，N(i,j) = N(i-1,j)
2. 当 j ≥ Π(i), (i,Π(i)) ∈ MNS（即要这根线）(i,j)。对于任意 (t,Π(t)) ∈ MNS(i,j) 有 t < i 且 Π(t) < Π(i)。这种情况下，MNS(i,j) – {(i,Π(i))}是N(i-1, Π(i)-1) 的最大不相交子集。
3. 若 (i,Π(i)) ∉ N(i,j)（即不要这根线）, 则对任意 (t,Π(t)) ∈ MNS(i,j) 有 t < i。从而 MNS(i,j) ∈ N(i-1,j)。因此，Size(i,j) ≤ Size(i-1,j)。另一方面，MNS(i-1,j) ∈ N(i,j)，故又有 Size(i,j) ≥ Size(i-1,j), 从而 Size(i,j) = Size(i-1,j)。（此处叙述了这么多，无非就是不要这根线，那么 Size(i,j) = Size(i-1,j)）
3. 综上，我们就得出下面这样一个状态转移方程
– 当 i = 1时
$$Size(1,j) = \begin{cases}
0 & j < Π(i) \
1 & j ≥ Π(i)
\end{cases}
$$
– 当 i > 1时

$$Size(i,j) = \begin{cases}

Size(i-1, j) & j < Π(i) \

max(Size(i-1, j), Size(i-1, Π(i)-1)+1) & j ≥ Π(i)

\end{cases}

Java源代码

/*
 * 若尘
 */
package wireset;

import java.util.Arrays;

/**
 * 动态规划电路布线问题 
 * @author ruochen
 * @version 1.0
 */

public class WireSet {

	private static int size[][];
	private static final int[] C = {0, 9, 7, 4, 2, 5, 1, 9, 3, 10, 6};
	private static final int num = 10;

	public static void main(String[] args) {
		int NET[] = new int[9];
		MNS(C, 10);
		Traceback(C, 10, NET);
		System.out.println(Arrays.toString(NET));
	}
	
	/**
	 * 
	 * @param C 导线上下接线柱对应的关系
	 * @param n 导线数量
	 */
	public static void MNS(int[] C, int n) {
		int i, j;
		size = new int[num + 1][num + 1];
		
		// 判断第一行， i = 1 的情况
		for (j = 0; j < C[1]; j++) {
			size[1][j] = 0;
		}
		for (j = C[1]; j <= n; j++) {
			size[1][j] = 1;
		}
		
		// 2->n 的情况
		for (i = 2; i < n; i++) {
			for (j = 0; j < C[i]; j++) {
				// i > 1 && j < Π(i) 的情况
				size[i][j] = size[i-1][j];
			}
			for (j = C[i]; j <= n; j++) {
				size[i][j] = Math.max(size[i-1][j], size[i-1][C[i]-1] + 1);
			}
		}
		size[n][n] = Math.max(size[n-1][n], size[n-1][C[n]-1] + 1);
	}
	
	/**
	 * 获得一个记录可连接导线的数组
	 * @param C 导线上下两接线柱对应的关系
	 * @param n 导线数量
	 * @param NET 记录可连接的导线
	 */
	public static void Traceback(int[] C, int n, int NET[]) {
		int i, j = n;
		int m = 0;
		for (i = n; i > 1; i--) {
			if (size[i][j] != size[i-1][j]) {
				NET[m++] = i;
				j = C[i] - 1;
			}
			// 第一条线
			if (j >= C[1]) {
				NET[m++] = 1;
			}
		}
	}

}

[1, 9, 1, 1, 7, 5, 3, 0, 0]

动态规划电路布线问题（Java代码实现）

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