数据校验的基本原理
<1> 数据校验的必要性
- 受元器件的质量、电路故障或噪音干扰等因素的影响，数据在被处理、传输、存储的过程中可能出现错误
- 若能设计硬件层面的错误检测机制，可以减少基于软件检错的代价（系统观）
<2> 校验的基本原理
- 增加冗余码（校验位）
– 有效信息(k位) 校验信息(r位)
<3> 码距的概念
- 同一编码中，任意两个合法编码之间不同二进制位数的最小值
- 0011 与 0001 的码距为1，一位错误时无法识别
- 0000、0011、0101、0110、1001、1010、1100、1111等编码码距为2。 任何一位发生变化，如0000变成1000就从有效编码变成了无效编码，容易检测到这种错误
- 校验码中增加冗余项的目的就是为了增大码距
<4> 码距与检错或纠错能力的关系
- 码距 $\geq$ e+1 : 可检测e个错误
- 码距 $\geq$ 2t+1 : 可纠正t个错误
- 码距 $\geq$ e+t+1 : 可纠正t个错误，同时检测e个错误(e $\geq$ t)
<5> 选择码距要考虑的因素
- 码距越大，抗干扰能力越强，纠错能力越强，数据冗余越大，编码效率低，编码电路也相对负复杂
- 选择码距必须考虑信息发生差错的概率和系统能容许的最小差错率
奇偶校验
- 增加冗余码（检验位）
– 有效信息(k位) 校验信息(r=1位) - 编码
– 根据有效信息计算校验信息位，使校验码（数据+1位校验信息）中1的个数满足奇/偶检验的要求
– 0001 -> 00011 (偶校验) P1 = D<sub>1</sub>$\bigoplus$D<sub>2</sub>$\bigoplus$D<sub>3</sub>$\bigoplus$D<sub>4</sub>$\bigoplus$D<sub>5</sub>$\bigoplus$D<sub>6</sub>$\bigoplus$D<sub>…</sub>$\bigoplus$D<sub>n</sub>
– 0001 -> 00010 (奇校验) P2 = $\overline{P1}$ - 特点
– 编码与检错简单
– 编码效率高
– 不能检测偶数位错误，无错结论不可靠，是一种错误检测码
– 不能定位错误，因此不具备纠错能力 - 奇偶校验的码距
– 码距为 2 - 改进的奇/偶校验
– 双向奇偶校验
– 可纠正1位错误– 可检测出某行/列上的奇数位
– 可检测出一部分偶数位错误
– 不能检测出错码分布在矩形4个顶点上的错误
– 方块校验
– 垂直水平校验 - 奇/偶校验应用
– 应用场景
– 内存条
– 工程上的应用
– 路由器配置
– 一般在同步传输中常用奇校验
– 异步传输中常采用偶校验
CRC校验及其实现
- 原理
– 增加冗余码
有效信息（k位）检验信息（r位）
N = k + r <= 2<sup>r</sup> – 1
– 生成多项式G(x)
收发双方约定的一个(r + 1)位二进制数，发送方利用G(X)对信息多项式做模2除运算,生成校验码。接收方利用G(X)对收到的编码多项式做模2除运算检测差错及错误定位
– G(x)应满足的条件
– 最高位和最低位必须为1
– 当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做除后应该使余数不为0
– 不同位发生错误时，模2除运算后余数不同
– 对不为0余数继续进行模2除运算应使余数循环 - 常见生成多项式G(x)
- 模2除运算
– 模2运算规则
– 加/减运算（异或运算，加不进位，减不借位）
– 0±0＝0，0±1＝1，1±0＝1，1±1＝0
– 模2除法
– 按模2减，求部分余数，不借位
– 上商原则
– 部分余数首位为1时，商为1，减除数
– 部分余数首位为0时，商为0，减0
– 当部分余数的位数小于除数的位数时，该余数即为最后余数
- CRC编码方法
– 根据待校验信息的长度k，按照 k+r ≤ 2<sup>r</sup>－1 确定校验位r的位数
如对4位信息 1100 进行CRC编码，根据 4+r ≤ 2<sup>r</sup>－1
得 r<sub>min</sub> = 3
– 根据r 和生成多项式的选择原则，选择位数为 r +1 的生成多项式G(X)= 1011
– 进行下列变化
有效信息（k位） 检验信息（r位）
1100 000
即：将待校验的二进制信息Q(X)逻辑左移 r 位,得到Q(X)’
– 对Q(X)’按模2运算法则除G(x)，求CRC编码中的r位校验信息
- 用得到的余数替换Q(X)’的最后r位即可得到对应的CRC编码
1100 010- CRC的检错与纠错
– 接收方利用G(X)对收到的编码多项式做模2除运算
余数为0说明传输没有错误- 接收方利用G(X)对收到的**有错**编码多项式做模2除运算余数不为0说明传输有错- （7,4）编码不同数位出错对应的余数- 一位出错情况下余数的循环特性- 利用出错情况下余数的循环特性就行纠错 - 若余数不为0，一边对余数补0继续做模2除，同时让被检测的校验码循环左移，当余数为101时，出错位也移到A1位置。通过异运算纠正后继续循环左移和执行余数模2除法，直到修改后的出错位回原位。不需对每一位提供纠正电路
- 当位数增多时，循环码校验能有效地降低硬件代价，这是它得以广泛应用的主要原因- CRC的应用
– 关于CRC的国际标准（部分）
海明校验
- 原理
– 增加冗余码
有效信息（k位）检验信息（r位）
N = k + r <= 2<sup>r</sup> – 1
– 设k+r位海明码从左到右依次为第1，2，3，……， k+r位，r位校验位记为P<sub>i</sub>（i=1，2，…，r)，分别位于k+r位海明编码的第2<sup>i-1</sup> （i=1，2，…，r)位上，其余位依次放置被校验的数据位
– (7，4)海明校验码中校验位和被校验信息位的排列如下
– 海明码位号 H<sub>j</sub> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
P和b的分布 P<sub>1</sub> P<sub>2</sub> b<sub>1</sub> P<sub>3</sub> b<sub>2</sub> b<sub>3</sub> b<sub>4</sub> P<sub>4</sub> b<sub>5</sub> b<sub>6</sub> b<sub>7</sub>
- H<sub>j</sub> 位的**数据**被编号小于j的若干个海明位号之和等于j的**校验位**所校验 ,如:设被传送的信息b<sub>1</sub>b<sub>2</sub>b<sub>3</sub>b<sub>5</sub>b<sub>5</sub>b<sub>6</sub>b<sub>7</sub> = 1 0 1 1 0 0 0，采用偶校验则得到的海明编码为H = 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0G<sub>4</sub>G<sub>3</sub>G<sub>2</sub>G<sub>1</sub>= 0 0 0 0， 表明无错！- 特点
– 指错字G<sub>4</sub>G<sub>3</sub>G<sub>2</sub>G<sub>1</sub>= 0000 不一定无错（利用偶校验的特点去判断）
– 一位错与两位错不能由指错字区别 - 海明校验的完善
</sub>G<sub>2</sub>G<sub>1</sub>= 0 0 0 0， 表明无错！ - 特点
– 指错字G<sub>4</sub>G<sub>3</sub>G<sub>2</sub>G<sub>1</sub>= 0000 不一定无错（利用偶校验的特点去判断）
– 一位错与两位错不能由指错字区别 - 海明校验的完善
– 在海明校验的基础上增加一位奇偶校验位
正文完