今天来聊聊【一天一大 lee】分割等和子集 (难度:中等) – Day20201011

20201011

题目:

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

注意：

  1. 每个数组中的元素不会超过 100
  2. 数组的大小不会超过 200

示例：

  1. 示例 1：
输入: [1, 5, 11, 5]
输出: true
解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].

  1. 示例 2：
输入: [1, 2, 3, 5]
输出: false
解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.

抛砖引玉

思路

先得到数组所有元素的和：

  • 如果和为奇数则一定不能满足要求
  • 如果和为偶数：
    • 其是否有子集的和等于所有和的一半

抛砖引玉

递归回溯

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {boolean}
 */
var canPartition = function(nums) {
  // 求和
  let sum = 0
  for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
    sum += nums[i]
  }
  // 如果和为奇数则一定不能满足要求
  if (sum % 2) return false
  // 递归回溯枚举子集
  let halfSum = parseInt(sum / 2, 10),
    map = new Map()
  function helper(index, childSum) {
    // 记录已经枚举的组合，避免重复计算
    const flag = index + '-' + childSum
    if (map.has(flag)) return map.get(flag)
    if (index >= nums.length || childSum > halfSum) return false
    if (childSum === halfSum) return true
    const child =
      helper(index + 1, childSum) || helper(index + 1, childSum + nums[index])
    map.set(flag, child)
    return child
  }
  return helper(0, 0)
}

动态规划

  • 状态定义：dp[i][j]表示在数组 nums 从 0 到 i 区间是否存在子集和为 j，有则为 true，无则为 false
  • 对应 nums[i],在自区间中存在选择和不选择两种情况：
    1. 选择：，注意：j – nums[i]>=0,即 nums[i]<= j
    2. 不选择：

dp[i][j]边界

  • i 是 nums 的索引则：i <= nums.length
  • j 是 nums 子集和，且本题求的子集和为 nums 和的一半则：j <= halfSum，注意 j 是从 0 开始填充则在生成 dp 数组时数组的长度应该为 halfSum+1

dp[i][j]初始化

  • 数组长度小于 2 或者和为奇数均不存在满足条件的情况
  • dp[i][0]，即 0 到 i 和为 0 的情况一定存在（均不选择）true
  • ，即 选择第一个元素和满足条件
var canPartition = function(nums) {
  // 求和
  let sum = 0,
    len = nums.length
  for (let i = 0; i < len; i++) {
    sum += nums[i]
  }
  // 如果和为奇数则一定不能满足要求
  if (sum % 2 || len < 2) return false
  let halfSum = parseInt(sum / 2, 10),
    dp = Array(len)
      .fill(0)
      .map(() => Array(halfSum + 1, false))
  // 初始化
  for (let i = 0; i < len; i++) {
    dp[i][0] = true
  }
  dp[0][nums[0]] = true
  // 遍历nums对nums[i]枚举选择和不选择两种情况
  for (let i = 1; i < len; i++) {
    const num = nums[i]
    for (let j = 1; j <= halfSum; j++) {
      if (j >= num) {
        // 对已知可能的情况取或
        // dp[i][j] = Boolean(dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - num])
        dp[i][j] = dp[i - 1][j] | dp[i - 1][j - num]
      } else {
        dp[i][j] = dp[i - 1][j]
      }
    }
  }
  return dp[len - 1][halfSum]
}

降维

var canPartition = function(nums) {
  // 求和
  let sum = 0,
    len = nums.length
  for (let i = 0; i < len; i++) {
    sum += nums[i]
  }
  // 如果和为奇数则一定不能满足要求
  if (sum % 2) return false
  let halfSum = parseInt(sum / 2, 10),
    dp = Array(halfSum + 1).fill(false)
 
  dp[0] = true
  for (let i = 0; i < len; i++) {
    const num = nums[i]
    // 因为j-num一定是小于j的，j-num是dp[j]的前置条件，则需要倒序保证求dp[j]时dp[j-num]已确定
    // 如果采用正序，dp[j]中j在递增的过程中会反复修改dp[j-num]的值
    for (let j = halfSum; j >= num; --j) {
      dp[j] = dp[j] | dp[j - num]
    }
  }
  return dp[halfSum]
}

正文完
2022-02-10