加拿大机械臂由于其实大负载，长臂杆，其是典型的柔性机械臂代表。

刚性机械臂建模方法已经可以有效地求解出机械臂各部分之间的耦合情况，但是对于柔性机械臂的动力学建模其侧重点在于基于刚性机械臂建模方法的基础上如何有效的处理机械臂关节柔性以及臂杆柔性的问题。由于机械臂的截面相对于其长度而言很小，可以将柔性杆作为Euler-Bernouli梁，柔性机械臂可以视为一个具有无限自由度的连续系统。相对于刚性机械臂杆件之间的耦合，柔性机械臂还需要考虑关节的柔性以及臂杆弹性变形的耦合。因而，柔性机械臂的运动方程具有高度非线性。

在对柔性系统进行建模的过程中，需要解决坐标系的选择、柔性体的离散化、动力学建模方法以及方程求解等问题。

1 柔性体的描述

柔性体的描述是柔性机械臂建模与控制的基础。根据选择参照系的不同，一般可分为相对坐标法以及绝对坐标法。由于绝对坐标法虽然可以获得形式简单的动力学方程，但是却大大增加了广义坐标的数目，进而需要引入相应的约束方程。目前的应用已经较少。而相对坐标法则是在柔性体上建立一动参照系，将柔性体的真实运动分解为牵连运动和相对于动坐标系运动的迭加。有利于小变形构件的离散化和线性化。应用较多。

2 柔性体的离散化

柔性机械臂是由柔性关节构成的集中参数系统和柔性杆件构成的分布参数系统所组成的混合系统，其动力学特性由偏微分方程描述。为求解该偏微分方程，需要采用离散方法将偏微分方程离散成常微分方程。

对于变形场的离散化主要有：

• 有限元法（FEM）
• 假设模态法（AMM）
• 集中质量法（LPM）
• 转移矩阵法（TMM）

有限元法是将有限自由度的连续体理想化为只有有限自由度的单元集合体，使问题简化为适于数值解法的结构型问题。该方法将连续系统划分为一定数目的柔性单元，对单元位移分布建立某种假设，并据此导出单元的动力学方程，通过单元组集最终获得柔性机器人系统的动力学方程，有限元法可模拟任意复杂形状的柔性构件，并可调用ANSYS等进行分析。

有限段法也是将无限自由度的连续体离散，只不过是离散成有限刚度梁段，将系统的柔性等效至梁段结点，即将柔性系统描述为多个刚体，以含有弹簧以及阻尼器的结点互连。当划分无穷时，有限段趋于微分梁段，其弹性线长度相当于弧微分，而不是有限元法中对于坐标的微分。有限段法容易计入几何非线性的影响，比较适合于含细长构件的柔性机器人系统，理论推导程式化，便于数值计算。

集中质量法将柔性体的分布质量按一定的规则聚缩于若干离散结点，其间用不计质量的弹性元件连接，并将柔性体的分布载荷等效至上述结点。该方法调理清晰，适于构件形状比较复杂的柔性机械系统。但是，与有限元法相比，在同等自由度下，该算法的精度较低。

假设模态法以Rayleigh-Ritz法为基础，采用模态截断技术将柔性体的高阶模态截断，之后利用Lagrange方程、Hamilton原理等建模方法得到离散化的动力学方程。模态函数的选取通常有两种方法，即约束模态法与非约束模态法。前者采用瞬时结构假定，忽略刚体惯性力以及科氏族力的影响，根据梁的自由振动方程确定模态函数。后者以柔性机器人的振动方程为基础，直接由几何、物理边界条件推导出系统的频率方程以及相应的模态函数。假设模态法建立的动力学方程规模较小，便于提高计算效率，在仿真与实时控制方面具有一定的优势，但是在描述复杂结构的振动模态时常会遇到较大的困难。假设模态法将柔性杆的变形表示为一系列模态函数的组合，具有方程规模较小、便于实时控制的特点，但是假设模态法需要考虑系统的特征值，只能处理形状简单、约束条件易求的系统。

3 动力学建模方法

柔性机械臂的动力学建模原理与刚体动力学类似，同样分为：

• 矢量力学
• 分析力学

建立柔性机械臂动力学方程主要利用Newton-Euler和Lagrange方程这两个最具代表性的方程，另外比较常用的还有Kane方法等。为了建立动力学模型和控制的方便，柔性关节一般简化为弹簧。当连杆存在柔性时，常采用假设模态法、有限元法、有限段法等方法描述相应臂杆的柔性变形，然后再根据需要进行截断。柔性臂杆的变形常常简化为Euler-Bernulli梁来处理，即考虑到机械臂连杆的长度总比其截面尺寸大得多，运行过程中所产生的轴向变形和剪切变形相对于挠曲变形而言非常小，柔性臂杆只考虑挠曲变形，忽略轴向变形和剪切变形。因而从动力学角度看，每根柔性连杆都可视为一段梁。

4 柔性体的描述

对于具有高度非线性和强耦合的空间柔性机械臂的偏微分-积分方程组的数值算法可以采用牛顿-拉斐逊、直接积分法和精细积分等数值积分算法。

刚柔耦合动力学，多体系统，动力学建模