导数篇

罗尔中值定理

结论：

• 如果函数f(x)满足

1. 在闭区间[a,b]上连续;
2. 在开区间(a,b)可导;
3. 在区间端点处的函数值相等, 即f(a) = f(b)
   那么在(a,b)内至少有一点ξ(a＜ξ＜b),使得f'(x) = 0

证明：

费马引理 设函数f(x)在点X0的某领域U(X0)内有定义,并且在X0X0X0出可导,如果对任意的x∈U(X0)，有
f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),
那么 f'(x0) = 0

拉格朗日中值定理

结论：

• 如果函数f(x)满足

1. 在闭区间[a,b]上连续;
2. 在开区间(a,b)可导;
   那么在(a,b)内至少有一点ξ(a＜ξ＜b),使等式

f(b) – f(a) = f'(ξ)(b-a)

证明：

这里太长到时候Copy

柯西中值定理

结论:

1. 在闭区间[a,b]上连续;
2. 在开区间(a,b)可导;
3. 对任一 x ∈(a,b) , F'(x) ≠ 0,
   那么在(a,b)内至少有一点ξ，使等式
   $\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)} = \frac{f'(ξ)}{F'(ξ)}$

证明:

这里太长到时候Copy

向量篇

单位向量 e 的模为1

$e = \frac{α}{|α|} = \frac{1}{|α|}$

若b∥ab ∥ ab∥a成立，使得存在一个λ，使 b = λa

向量公式